Operasi Hitung Bilangan

  Operasi Hitung Bilangan

 

1.    Pengertian Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks. Bilangan adalah suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan benda. Lambang bilangan biasa dinotasikan dalam bentuk tulisan sebagai angka. Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris.

Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perakaran. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.

2.    Macam-macam Bilangan

a.             Bilangan Bulat

1.        Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif.

2.        Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:

a.         Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

b.        Sifat komutatif

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

c.         Sifat asosiatif

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

d.        Mempunyai unsur identitas

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.

e.         Mempunyai invers

Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.

3.        Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).

4.        Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

5.        Jika p dan q bilangan bulat maka

a.         p x q = pq;

b.        (–p) x q = –(p x q) = –pq;

c.         p x (–q) = –(p x  q) = –pq;

d.         (–p) x (–q) = p x  q = pq.

6.        Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat

a.         tertutup terhadap operasi perkalian;

b.        komutatif: p x q = q x p;

c.         asosiatif: (p x q) x r = p x (q x  r);

d.        distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x  r);

e.         distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) – (p x  r).

7.        Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat p berlaku p x 1 = 1 x p = p.

8.        Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.

9.        Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

10.    Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.

a.    Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

b.    Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

c.    Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

Jadi bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari seluruh bilangan baik negatif, nol dan positif.

Contoh: -3,-2,-1,0,1,2,3,….

b.             Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli dan nol termasuk di dalamnya.

Contoh :

                     {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

c.              Bilangan Prima

Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.

Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit.

Cara paling sederhana untuk menentukan bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu adalah dengan menggunakan saringan Eratosthenes Secara matematis, tidak ada "bilangan prima yang terbesar", karena jumlah bilangan prima adalah tak terhingga.[1] Bilangan prima terbesar yang diketahui per 2013 adalah 257,885,161 − 1.[2] Bilangan ini mempunyai 17,425,170 digit dan merupakan bilangan prima Mersenne yang ke-48. M57885161 (demikian notasi penulisan bilangan prima Mersenne ke-48) ditemukan oleh Curtis Cooper pada 25 Januari 2013 yang merupakan profesor-profesor dari University of Central Missouri bekerja sama dengan puluhan ribu anggota lainnya dari proyek GIMPS.

Jadi bilangan prima adalah bilangan-bilangan  sail/asli yang hanya bisa dibagi dirinya sendiri dan satu, atau bilangan yang memiliki 2 faktor, dan angka satu bukan bilangan prima.

Contoh: 2,3,5,7,11,13,17,….

d.             Bilangan Real

Bilangan real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Note : Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”.

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (real).

e.              Bilangan Desimal

Bilangan Desimal adalah di mana sistem ini menggunakan 10 macam simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Sistem ini menggunakan basis 10. Bentuk nilai dari Sistem Bilangan Desimal ini dapat berupa integer desimal dan pecahan.

Integer Desimal adalah nilai desimal yang bulat, misalnya 8598 dapat diartikan :

Setiap simbol pada Sistem Bilangan Desimal mempunyai absolute value dan psition value. Absolute Value adalah nilai mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan Positif Value adalah nilai bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung letak posisinya yaitu bernilai basis dipangkatkan dengan urutan posisinya. Untuk lebih jelas perhatikan tabel di bawah ini.

Dengan begitu maka bilangan desimal dari 8598 dapat diartikan sebagai berikut:

Pecahan Desimal adalah nilai desimal yang mengandung nilai pecahan di belakang koma, misalnya nilai 183,75. Nilai tersebut dapat diartikan sebagai berikut :

3.    Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil

Bilangan genap adalah suatu bilangan yang habis dibagi dua. Dengan demikian 0 termasuk bilangan genap, karena 0 habis dibagi dua. Bilangan genap dapat dituliskan dengan bentuk rumus 2k, dengan k sembarang bilangan bulat. Jumlah dua bilangan genap artinya penjumlahan dari (2k)+(2k) hasilnya adalah 4k=2(2k). Misalnya 2k=n, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2n, dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan genap berapapun akan menghasilkan bilangan genap.

·      Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.

Jumlah dua bilangan ganjil artinya penjumlahan dari yang hasilnya adalah .

Misalkan , maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai . dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap.

Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan ganjil berapapun akan menghasilkan bilangan genap.

·      Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap.

Jumlah dua bilangan genap artinya penjumlahan dari yang hasilnya adalah .

Misalkan , maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai . dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap.

Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan genap berapapun akan menghasilkan bilangan genap.

·      Bilangan ganjil ditambah bilangan genap adalah bilangan ganjil.

Jumlah dua bilangan dengan yang satu adalah bilangan ganjil dan yang satunya adalah bilangan genap artinya penjumlahan dari yang hasilnya adalah .

Misalkan. , maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai . dimana ini merupakan rumus untuk bilangan ganjil.

Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan dengan yang satu adalah bilangan ganjil dan yang satunya adalah bilangan genap akan menghasilkan bilangan ganjil.

·      Perkalian dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

Perkalian antara bilangan ganjil dengan bilangan ganjil artinya perkalian antara . Dimana hasilnya adalah . Hasil terakhir dapat ditulis sebagai .

Misalnya . maka bentuk adalah rumus untuk bilangan ganjil.

Sehingga hasil kali antara bilangan ganjil dengan bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.

·      Perkalian dua bilangan genap adalah bilangan genap

Perkalian antara bilangan genap dengan bilangan genap artinya perkalian antara . Dimana hasilnya adalah . Hasil terakhir dapat ditulis sebagai .

Misalnya . maka bentuk adalah rumus untuk bilangan genap.

Sehingga hasil kali antara bilangan genap dengan bilangan genap adalah bilangan genap.

·      Bilangan ganjil dikali bilangan genap adalah bilangan genap.

Perkalian antara bilangan ganjil dengan bilangan genap artinya perkalian antara . Dimana hasilnya adalah . Hasil terakhir dapat ditulis sebagai .

Misalnya . maka didapatkan bentuk . dan bentuk adalah rumus untuk bilangan genap.

Sehingga hasil kali antara bilangan ganjil dengan bilangan genap adalah bilangan genap.

·      Kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

Kuadrat dari bilangan ganjil artinya perkalian antara . Dimana hasilnya adalah .

Hasil terakhir dapat ditulis sebagai . Misalnya . maka bentuk adalah rumus untuk bilangan ganjil.

Sehingga kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.

·      Kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap

Kuadrat dari bilangan genap artinya perkalian antara . Dimana hasilnya adalah . Hasil terakhir dapat ditulis sebagai .

Misalnya . maka bentuk adalah rumus untuk bilangan genap.

Sehingga kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap.

·      Rumus bilangan ganjil

Rumus untuk bilangan ganjil tentunya negasi atau kebalikan dari rumus untuk bilangan genap. Pada bilangan genap dikatakan bahwa bilangan genap adalah bilangan kelipatan 2, maka untuk bilangan ganjil adalah yang bukan kelipatan 2.

Setiap yang kelipatan 2 dapat dituliskan sebagai 2n. sehingga untuk yang bukan kelipatan 2 bisa dituliskan sebagai 2n + 1 atau 2n – 1. Artinya yaitu bilangan kelipatan 2 yang ditambah satu sama dengan bilangan yang bukan kelipatan 2. Sama halnya untuk dikurangi 1.

Misalnya bilangan 8 adalah bilangan genap dan merupakan bilangan kelipatan 2. Maka, 8 + 1 = 9 merupakan bilangan ganjil.

Begitu juga untuk 8 – 1 = 7 yang merupakan bilangan ganjil.

Sehingga rumus untuk bilangan ganjil adalah 2n + 1 atau 2n – 1. Untuk setiap n bilangan bulat.

Bilangan ganjil adalah bilangan yang jika dibagi 2 memiliki sisa 1. Contohnya jika kita punya bilangan 22 di bagi 2 akan menghasilkan 11 tanpa sisa. Sedangkan 23 jika dibagi 2 akan menghasilkan 11 sisa 1.

Bilangan ganjil dituliskan dengan bentuk rumus 2k-1 atau dapat ditulis dengan 2k+1  dengan k sembarang bilangan bulat. Jumlah dua bilangan ganjil atau penjumlahan (2k-1)+(2k+1) yang hasilnya adalah 4k-2=2(2k-1). Misalkan 2k-1=m, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2m. Dimana ini merupakan rumus dari bilangan genap. Jadi, dapat disimpulkan bahwa jumlah dua bilangan ganjil berapapun akan menghasilkan dua bilangan genap.

Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi dua. Dan bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi 2.

Karena bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi dua, maka bilangan genap adalah bilangan 2 dan kelipatannya. yaitu 2, 4, 6, 8, 10, … dan kelipatan ke bawah yaitu 2, 0, -2, -4, -6, …

Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan genap, karena bilangan genap adalah bilangan kelipatan 2, maka bilangan genap dapat dituliskan dengan rumus 2n, dengan n adalah sebarang bilangan bulat.

Mengapa dituliskan dengan rumus 2n?

Kita tahu bahwa bilangan genap habis dibagi 2. Dan 2n juga habis dibagi 2. Sehingga kita bisa menuliskan dengan rumus 2n untuk setiap bilangan genap.

Mengapa tidak dituliskan dengan rumus 4n?

 Memang 4n habis dibagi 2. Dan setiap bilangan berbentuk 4n merupakan bilangan genap. Tetapi tidak semua bilangan genap berbentuk 4n. ini dikarenakan 4n adalah bilangan kelipatan 4.

Sehingga untuk bilangan genap yang bukan merupakan kelipatan 4, maka tidak bisa dituliskan ke dalam bentuk 4n. oleh karena itu, rumus 2n untuk bilangan genap digunakan karena 2n adalah bilangan kelipatan 2 dan bilangan genap juga merupakan kelipatan 2.

4.    Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai p/q, dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠0. Bilangan p disebut pembilang dan bilangan q disebut penyebut. Pecahan dapat dikatakan senilai apabila pecahan tersebut mempuyai nilai atau bentuk paling sederhana sama

Contoh:
5/7; 5 dikatakan sebagai pembilang dan 7 dikatakan sebagai penyebut
10/45; 10 dikatakan sebagai pembilang dan 45 dikatakan sebagai penyebut

Berikut ini merupakan jenis-jenis pecahan:

1)        Pecahan Biasa

Yaitu pecahan dengan pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat

Contoh:

1/4 , 2/5 , 9/10

2)        Pecahan Murni

Yaitu pecahan yang pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat dan berlaku pembilang kurang atau lebih kecil dari penyebut. Pecahan murnai dapat dikatakan sebagai pecahan biasa tetapi pecahan biasa belum tentu dapat dikatakan sebagai pecahan murni

Contoh:

1/6 , 3/5, 7/15

3)        Pecahan campuran

Pecahan yang terdiri atas bagian bilangan bulat dan bagian pecahan murni

Contoh:

3 ½, 4 ½, 5 ¾,

4)        Pecahan desimal

Yaitu pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000, dan seterusnya, dan ditulis dengan tanda koma,

Contoh:

0,4; 4,6; 9,2

5)        Persen atau perseratus

Pecahan dengan penyebut 100 dan dilambangkan dengan %

Contoh:

4% artinya 4/100

35% artinya 35/100

6)        Permil atau perseribu

Yaitu pecahan dengan penyebut 1.000 dan dilambangkan dengan%0

Contoh:

8%0 artinya 8/1000

125%0 artinya 125/1000